حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y = sin (x y)

$y = \sin (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (sin (x y))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

خطوة 2

مشتق

y

$y$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

y'

$y'$ .

y'

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ و

g (x) = x y

$g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

u

$u$ لتصبح

x y

$x y$ .

\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.1.2

مشتق

sin (u)

$\sin (u)$ بالنسبة إلى

u

$u$ يساوي

cos (u)

$\cos (u)$ .

cos (u) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

x y

$x y$ .

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث

f (x) = x

$f (x) = x$ و

g (x) = y

$g (x) = y$ .

cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة

y'

$y'$ .

cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

cos (x y) (x y' + y \cdot 1)

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب

y

$y$ في

1

$1$ .

cos (x y) (x y' + y)

$\cos (x y) (x y' + y)$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

cos (x y) (x y') + cos (x y) y

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

y' = x cos (x y) y' + y cos (x y)

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة

y'

$y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

خطوة 5.2

اطرح

x y' cos (x y)

$x y' \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

y' - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

خطوة 5.3

أخرِج العامل

y'

$y'$ من

y' - x y' cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل

y'

$y'$ من

{y'}^{1}

${y'}^{1}$ .

y' \cdot 1 - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل

y'

$y'$ من

- x y' cos (x y)

$- x y' \cos (x y)$ .

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل

y'

$y'$ من

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y))

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ على

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ على

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

\frac{y' (1 - x cos (x y))}{1 - x cos (x y)} = \frac{y cos (x y)}{1 - x cos (x y)}

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم

$y'$ على

$1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 6

استبدِل

$y'$ بـ

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$