حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 x - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $u$ من $4 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

خطوة 1.2.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x (4 - x) = 0$

خطوة 1.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - x = 0$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 4$

خطوة 1.2.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 1.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (4 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $4 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

خطوة 4.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

خطوة 4.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

خطوة 4.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

خطوة 4.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $3$ وفي $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.4

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.5

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.7.1

اضرب $9$ في $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7.2

اطرح $1$ من $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

خطوة 4.9.2.3.11

اطرح $1$ من $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

خطوة 4.9.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

خطوة 4.9.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

خطوة 4.9.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.9.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

خطوة 4.9.2.3.12.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

خطوة 4.9.2.3.13

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

خطوة 4.9.2.3.14

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.15

اجمع $16$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.17.1

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

خطوة 4.9.2.3.17.2

أضف $- 26$ و $48$ .

$\frac{22}{3}$

خطوة 5