حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{x}$

خطوة 1

اكتب $x e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

خطوة 3.2.2

اضرب في $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 1$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = x e^{x}$ هو $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- \frac{1}{e^{2}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

خطوة 7.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 1, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 1)$

خطوة 9