حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

x e^{x}

$x e^{x}$

خطوة 1

اكتب

x e^{x}

$x e^{x}$ في صورة دالة.

f (x) = x e^{x}

$f (x) = x e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث

f (x) = x

$f (x) = x$ و

g (x) = e^{x}

$g (x) = e^{x}$ .

x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ حيث

a

$a$ =

e

$e$ .

x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

x e^{x} + e^{x} \cdot 1

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

خطوة 2.1.3.2

اضرب

e^{x}

$e^{x}$ في

1

$1$ .

f' (x) = x e^{x} + e^{x}

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

f' (x) = x e^{x} + e^{x}

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

f' (x) = x e^{x} + e^{x}

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ

f (x)

$f (x)$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

x e^{x} + e^{x}

$x e^{x} + e^{x}$ .

x e^{x} + e^{x}

$x e^{x} + e^{x}$

x e^{x} + e^{x}

$x e^{x} + e^{x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ ثم أوجِد حل المعادلة

x e^{x} + e^{x} = 0

$x e^{x} + e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x e^{x} + e^{x} = 0

$x e^{x} + e^{x} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل

e^{x}

$e^{x}$ من

x e^{x} + e^{x}

$x e^{x} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل

e^{x}

$e^{x}$ من

x e^{x}

$x e^{x}$ .

e^{x} x + e^{x} = 0

$e^{x} x + e^{x} = 0$

خطوة 3.2.2

اضرب في

1

$1$ .

e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل

e^{x}

$e^{x}$ من

e^{x} x + e^{x} \cdot 1

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

e^{x} (x + 1) = 0

$e^{x} (x + 1) = 0$

e^{x} (x + 1) = 0

$e^{x} (x + 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

e^{x} = 0

$e^{x} = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة

e^{x}

$e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة

e^{x}

$e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

e^{x} = 0

$e^{x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

e^{x} = 0

$e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

\ln (e^{x}) = \ln (0)

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن

\ln (0)

$\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ

e^{x} = 0

$e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة

x + 1

$x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة

x + 1

$x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح

1

$1$ من كلا المتعادلين.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

e^{x} (x + 1) = 0

$e^{x} (x + 1) = 0$ صحيحة.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ

0

$0$ هي

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق

f' (x) = x e^{x} + e^{x}

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ مساويًا لـ

0

$0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص

f (x) = x e^{x}

$f (x) = x e^{x}$ هو

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة

(- \infty, - 1)

$(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

- 2

$- 2$ في العبارة.

f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع

- 2

$- 2$ و

\frac{1}{e^{2}}

$\frac{1}{e^{2}}$ .

f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أضف

- 2

$- 2$ و

1

$1$ .

f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي

- \frac{1}{e^{2}}

$- \frac{1}{e^{2}}$ .

- \frac{1}{e^{2}}

$- \frac{1}{e^{2}}$

- \frac{1}{e^{2}}

$- \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 6.3

المشتق في

x = - 2

$x = - 2$ هو

- \frac{1}{e^{2}}

$- \frac{1}{e^{2}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال

(- \infty, - 1)

$(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال

(- \infty, - 1)

$(- \infty, - 1)$ حيث إن

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

تناقص خلال

(- \infty, - 1)

$(- \infty, - 1)$ حيث إن

f' (x) < 0

$f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة

(- 1, \infty)

$(- 1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

0

$0$ في العبارة.

f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب

0

$0$ في

1

$1$ .

f' (0) = 0 + e^{0}

$f' (0) = 0 + e^{0}$

خطوة 7.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

f' (0) = 0 + 1

$f' (0) = 0 + 1$

f' (0) = 0 + 1

$f' (0) = 0 + 1$

خطوة 7.2.2

أضف

0

$0$ و

1

$1$ .

f' (0) = 1

$f' (0) = 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

خطوة 7.3

المشتق في

x = 0

$x = 0$ هو

1

$1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال

(- 1, \infty)

$(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال

(- 1, \infty)

$(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

تزايد خلال

(- 1, \infty)

$(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن

f' (x) > 0

$f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال:

(- 1, \infty)

$(- 1, \infty)$

تناقص خلال:

(- \infty, - 1)

$(- \infty, - 1)$

خطوة 9