حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = f (x)$

خطوة 1

اكتب $y = f (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = f (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $f (x)$ هو $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

خطوة 3.2

بما أن $f$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{f}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 3.5.2

اجمع $f$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{d f}{d x} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $f (x)$ هو $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{d f}{d x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d f}{d x} = 0$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{f}{x} = 0$

خطوة 6.3

اضرب كلا المتعادلين في $x$ .

$f = x (0)$

خطوة 6.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $0$ .

$0 = f$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $0 = f$ بحيث تصبح $f$ في الطرف الأيسر.

$f = 0$

خطوة 6.7

تم حذف المتغير $x$ .

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{d f}{d x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$d x = 0$

خطوة 7.2

اقسِم كل حد في $d x = 0$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في $d x = 0$ على $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

خطوة 7.2.2.1.2

اقسِم $d$ على $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $0$ على $x$ .

$d = 0$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ارفع $l$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.2

ارفع $l$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.5

ارفع $l$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.7

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.8

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.9

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.11

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

خطوة 10.1.12

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

خطوة 10.1.13

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

خطوة 10.1.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

خطوة 10.1.15

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.5

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.6

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.7

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.3.8

طبّق قاعدة الضرب على $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.4

اضرب الأُسس في ${(l^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.5

اضرب الأُسس في ${(e^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

خطوة 10.6

اضرب الأُسس في ${(r^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

خطوة 10.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

خطوة 11

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 12