حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح

\frac{1 - cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

\int \frac{1 - cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

\frac{1}{2} \int 1 - cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

\frac{1}{2} (x + C + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 6

لنفترض أن

u = 2 x

$u = 2 x$ . إذن

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ ، لذا

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

u

$u$ و

d

$d$

u

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن

u = 2 x

$u = 2 x$ . أوجِد

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن

2

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

2 x

$2 x$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

u

$u$ و

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

اجمع

cos (u)

$\cos (u)$ و

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

u

$u$ ، انقُل

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 9

تكامل

cos (u)

$\cos (u)$ بالنسبة إلى

u

$u$ هو

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 10

بسّط.

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ و

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 12.3

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

x

$x$ .

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 12.4

اضرب

\frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2})

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ في

\frac{sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 12.4.2

اضرب

2

$2$ في

2

$2$ .

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + C

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$