حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ و ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{2})}^{n}$ من ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم $\frac{1}{2}$ على $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ في ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

خطوة 4.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.4

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

خطوة 6.1.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \cdot 2$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$