حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ حيث

a

$a$ هو الحد الأول و

r

$r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ

a_{n}

$a_{n}$ و

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد

r

$r$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ و

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ من

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في

1

$1$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

r = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ على

1

$1$ .

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 3

Since

| r | < 1

$| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ

0

$0$ عن

n

$n$ في

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

a = {(\frac{1}{2})}^{0}

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a = \frac{1^{0}}{2^{0}}

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

خطوة 4.2.2

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

a = \frac{1}{2^{0}}

$a = \frac{1}{2^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

a = \frac{1}{1}

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.4

اقسِم

1

$1$ على

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب

1

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

خطوة 6.1.3

اطرح

1

$1$ من

2

$2$ .

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

1 \cdot 2

$1 \cdot 2$

خطوة 6.3

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$