حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 2 y - y^{2}$

خطوة 1

أعِد ترتيب $2 y$ و $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 2 y$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $- y^{2} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$d = - 1$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $4$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1$

خطوة 2.1.1.4.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$e = 1$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليسار.

مفتوح على اليسار

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, 1)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{3}{4}, 1)$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = 1$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = \frac{5}{4}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(1, 1)$

البؤرة: $(\frac{3}{4}, 1)$

محور التناظر: $y = 1$

الدليل: $x = \frac{5}{4}$

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(1, 1)$

البؤرة: $(\frac{3}{4}, 1)$

محور التناظر: $y = 1$

الدليل: $x = \frac{5}{4}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, 2.41421356)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

خطوة 3.1.2.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

خطوة 3.1.2.2

الإجابة النهائية هي $1 + \sqrt{2}$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

خطوة 3.1.3

حوّل $1 + \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= 2.41421356$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, - 0.41421356)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

خطوة 3.2.2.2

الإجابة النهائية هي $1 - \sqrt{2}$ .

$y = 1 - \sqrt{2}$

خطوة 3.2.3

حوّل $1 - \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 0.41421356$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

خطوة 3.3.2.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

خطوة 3.3.2.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

خطوة 3.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (0) = 2$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 3.3.3

حوّل $2$ إلى رقم عشري.

$= 2$

خطوة 3.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

خطوة 3.4.2.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

خطوة 3.4.2.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 3.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 3.4.3

حوّل $0$ إلى رقم عشري.

$= 0$

خطوة 3.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(1, 1)$

البؤرة: $(\frac{3}{4}, 1)$

محور التناظر: $y = 1$

الدليل: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

خطوة 5