حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 14 x {(x - 1)}^{3}$

خطوة 1

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x {(x - 1)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$14 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 4.6

اضرب ${(x - 1)}^{3}$ في $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

خطوة 5.2

اضرب $3$ في $14$ .

$42 (x ({(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $14 {(x - 1)}^{2}$ من $42 x {(x - 1)}^{2} + 14 {(x - 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $14 {(x - 1)}^{2}$ من $42 x {(x - 1)}^{2}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $14 {(x - 1)}^{2}$ من $14 {(x - 1)}^{3}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $14 {(x - 1)}^{2}$ من $14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

خطوة 5.4

أضف $3 x$ و $x$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

خطوة 5.5

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$14 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

خطوة 5.6

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$14 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$14 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$14 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$14 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$14 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$14 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.7.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$14 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$(14 x^{2} + 14 (- 2 x) + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اضرب $- 2$ في $14$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

خطوة 5.9.2

اضرب $14$ في $1$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$

خطوة 5.10

وسّع $(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$14 x^{2} (4 x) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$14 \cdot 4 x^{2} x + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.2.1

انقُل $x$ .

$14 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$14 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$14 \cdot 4 x^{1 + 2} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$14 \cdot 4 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.3

اضرب $14$ في $4$ .

$56 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.4

اضرب $- 1$ في $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x \cdot x - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.1

انقُل $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 (x \cdot x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.7

اضرب $- 28$ في $4$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.8

اضرب $- 1$ في $- 28$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.9

اضرب $4$ في $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x + 14 \cdot - 1$

خطوة 5.11.10

اضرب $14$ في $- 1$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

خطوة 5.12

اطرح $112 x^{2}$ من $- 14 x^{2}$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

خطوة 5.13

أضف $28 x$ و $56 x$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 84 x - 14$