حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + 2 \sin (x)$

خطوة 1

اكتب $y = x + 2 \sin (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (x))$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sin (x)$

خطوة 3.3

اطرح $2 \sin (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x)$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$1 + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 7

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 9

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 10

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 10.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 10.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 10.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 11

حل المعادلة $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{2 π}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 13.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \sqrt{3}$

خطوة 13.4

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

خطوة 14

$x = \frac{2 π}{3}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{2 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 15.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 15.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 15.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 15.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{4 π}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 17.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 17.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 17.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (- \sqrt{3})$

خطوة 17.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

خطوة 17.4.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\sqrt{3}$

خطوة 18

$x = \frac{4 π}{3}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{4 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{4 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 19.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 19.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 19.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 19.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 19.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21