حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

خطوة 1

أعِد كتابة

$x e^{- x}$ بالصيغة

$\frac{x}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 2.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن الأُس

$x$ يقترب من

$\infty$ ، إذن الكمية

$e^{x}$ تقترب من

$\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن

$\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو

$a^{x} \ln (a)$ حيث

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر

$\frac{1}{e^{x}}$ يقترب من

$0$ .

$0$