حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

\frac{lim n \to \infty n}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

خطوة 1.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

\frac{\infty}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

خطوة 1.1.3

بما أن الأُس

n

$n$ يقترب من

\infty

$\infty$ ، إذن الكمية

2^{n}

$2^{n}$ تقترب من

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}} = lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو

$n \cdot n^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ هو

$a^{n} \ln (a)$ حيث

$a$ =

$2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

خطوة 2

انقُل الحد

$\frac{1}{\ln (2)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

$n$ .

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر

$\frac{1}{2^{n}}$ يقترب من

$0$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

خطوة 4

اضرب

$\frac{1}{\ln (2)}$ في

$0$ .

$0$