حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

خطوة 1

وسّع ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 - \cos (x))}^{2}$ بالصيغة $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

خطوة 1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

خطوة 1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 1.5

انقُل $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 1.6

انقُل $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.7

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.11

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.12

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

خطوة 1.13

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

خطوة 1.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 1.15

أضف $1$ و $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1.16

اطرح $\cos (x)$ من $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 5

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 16.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 16.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 16.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$