حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ بحيث تصبح

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

خطوة 2

بما أن

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

y

$y$ ، انقُل

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

خطوة 5

لنفترض أن

u = 2 y

$u = 2 y$ . إذن

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ ، لذا

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام

u

$u$ و

d

$d$

u

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن

u = 2 y

$u = 2 y$ . أوجِد

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 5.1.2

بما أن

2

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

y

$y$ ، إذن مشتق

2 y

$2 y$ بالنسبة إلى

y

$y$ يساوي

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

u

$u$ و

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع

\cos (u)

$\cos (u)$ و

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

u

$u$ ، انقُل

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 8

تكامل

\cos (u)

$\cos (u)$ بالنسبة إلى

u

$u$ هو

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 9

بسّط.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

خطوة 11.3

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

خطوة 11.4

اضرب

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ في

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 11.4.2

اضرب

2

$2$ في

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$