حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 48 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

خطوة 1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $48$ خارج التكامل.

$48 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = t^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 t$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$48 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ بالصيغة ${u_{1}}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$48 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$48 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$48 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$48 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$48 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$48 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ بالصيغة ${u_{1}}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$48 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{1}}^{3}$ .

$48 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ و $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$48 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$48 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $48$ .

$\frac{48}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $48$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{24}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $24$ على $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$24 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$24 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{2}$ .

$24 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{u_{2}}{2}$ و $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$24 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$24 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $24$ .

$\frac{24}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2.2.4

اقسِم $12$ على $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . إذن $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، إذن مشتق $- {u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$12 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

خطوة 11.2

اجمع $e^{u_{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$12 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$12 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

خطوة 13

اضرب $- 1$ في $12$ .

$- 12 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 12 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 12$ .

$\frac{- 12}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 15.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 15.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 15.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 15.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 6}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 15.2.2.4

اقسِم $- 6$ على $1$ .

$- 6 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 16

تكامل $e^{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $e^{u_{3}}$ .

$- 6 (e^{u_{3}} + C)$

خطوة 17

بسّط.

$- 6 e^{u_{3}} + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 6 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2}$ .

$- 6 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

خطوة 18.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t^{2}$ .

$- 6 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$