حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x \sec^{2} (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x \sec^{2} (2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sec^{2} (2 x)$ .

$4 (x (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (2 x)$ .

$4 (x \frac{\tan (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{\tan (2 x)}{2}$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (2 x)$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \int \frac{\tan (2 x)}{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \tan (2 x) d x))$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \tan (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع $\tan (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\tan (u)}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \tan (u) d u)$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \tan (u) d u)$

خطوة 9

تكامل $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sec (u) |)$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (\ln (| \sec (u) |) + C))$

خطوة 10

أعِد كتابة $4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (\ln (| \sec (u) |) + C))$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2} x \tan (2 x) - \frac{1}{4} \ln (| \sec (u) |)) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x \tan (2 x) - \frac{1}{4} \ln (| \sec (u) |)) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x \tan (2 x) - \frac{1}{4} \ln (| \sec (2 x) |)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$4 (\frac{x}{2} \tan (2 x) - \frac{1}{4} \ln (| \sec (2 x) |)) + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $\tan (2 x)$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \ln (| \sec (2 x) |)) + C$

خطوة 12.1.3

اجمع $\ln (| \sec (2 x) |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x \tan (2 x)}{2} - \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{x \tan (2 x)}{2} + 4 (- \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}) + C$

خطوة 12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{x \tan (2 x)}{2} + 4 (- \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}) + C$

خطوة 12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{x \tan (2 x)}{2} + 4 (- \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}) + C$

خطوة 12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (x \tan (2 x)) + 4 (- \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}) + C$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| \sec (2 x) |)}{4}$ إلى بسط الكسر.

$2 (x \tan (2 x)) + 4 \frac{- \ln (| \sec (2 x) |)}{4} + C$

خطوة 12.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (x \tan (2 x)) + 4 \frac{- \ln (| \sec (2 x) |)}{4} + C$

خطوة 12.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (x \tan (2 x)) - \ln (| \sec (2 x) |) + C$

$2 x \tan (2 x) - \ln (| \sec (2 x) |) + C$