حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x \sqrt{x - 1} d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x \sqrt{x - 1} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$4 (x (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (x \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x))$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ بالصيغة $4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

لكتابة $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 7.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 7.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 7.3.4

اضرب $5$ في $2$ .

$4 \frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 7.3.5

اجمع $4$ و $\frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

خطوة 9.2

اضرب $10$ في $4$ .

$\frac{40 (x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

خطوة 9.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{15} (40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$