حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{12 x - x^{2}}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $x$ من $12 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $12 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 - x^{2}}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 + x (- x)}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 12 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (12 - x)}} d x$

خطوة 2

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot 12 + x (- x)$

خطوة 2.1.2

انقُل $12$ إلى يسار $x$ .

$12 \cdot x + x (- x)$

خطوة 2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$12 \cdot x - x \cdot x$

خطوة 2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

انقُل $x$ .

$12 x - (x \cdot x)$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$12 x - x^{2}$

خطوة 2.1.5

أعِد ترتيب $12 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 12 x$

خطوة 2.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 0$

خطوة 2.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$d = - 6$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

خطوة 2.5.2.1.3

اقسِم $144$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 36$ .

$e = 0 + 36$

خطوة 2.5.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$e = 36$

خطوة 2.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 6)}^{2} + 36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 6)}^{2} + 36}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x - 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x - 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 36}} d u$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 6^{2}}} d u$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (\frac{u}{6})$

$\arcsin (\frac{u}{6}) + C$

خطوة 6

أعِد كتابة $\arcsin (\frac{u}{6}) + C$ بالصيغة $\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} (x - 6)) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\arcsin (\frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 (- 1))) + C$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot - 1)) + C$

خطوة 8.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (\frac{x}{6} - 1) + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$\arcsin (\frac{1}{6} x - 1) + C$