حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ موجبة.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.3

اجمع $3$ و $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.4

اضرب $9$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.5

اجمع $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ و $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.6

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.7

اضرب $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ في $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

خطوة 2.2.3.8

اضرب $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ في $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

خطوة 2.2.3.9

اضرب $3$ في $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

خطوة 2.2.3.10

اضرب $4$ في $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $108$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.11.1

أخرِج العامل $12$ من $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $12$ من $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $\sec (t)$ و $\sec^{2} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.12.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.13

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.13.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.3.13.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{4}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{4}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

خطوة 4.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

خطوة 4.3

اضرب $\cos (t)$ في $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

خطوة 5

تكامل $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

خطوة 8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$