حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2}} \cdot (\sin (\frac{1}{x}) \cos (\frac{1}{x})) d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $\sin (\frac{1}{x})$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{x}) d x$

خطوة 1.2

اجمع $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ و $\cos (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{x}) \cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \sin (\frac{1}{x})$ . إذن $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \sin (\frac{1}{x})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 2.1.4.2

اجمع $\cos (\frac{1}{x})$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{x}) + C$