حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \sin (2 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{2} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2} \cdot 2$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

خطوة 4.3.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) (x) d x$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) (x) d x$

خطوة 4.5

اضرب $\int \cos (2 x) (x) d x$ في $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 9

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

خطوة 12

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

خطوة 13

أعِد كتابة $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ بالصيغة $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$