حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{(1 + x^{4}) (\ln (1 + x^{4}))} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + x^{4}$ . إذن $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u_{1} \ln (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{4 u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \ln (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ، لذا $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \ln (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 7

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

خطوة 7.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \ln (1 + x^{4}) |) + C$