حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{e^{2 t}}{{(3 - e^{2 t})}^{8}} d t d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = 3 - e^{2 t}$ . إذن $d u_{2} = - 2 e^{2 t} d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 t} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = 3 - e^{2 t}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - e^{2 t}$ .

$\frac{d}{d t} [3 - e^{2 t}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - e^{2 t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- e^{2 t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$0 - (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$0 - (e^{2 t} \cdot 2)$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$0 - (2 \cdot e^{2 t})$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 e^{2 t}$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 e^{2 t}$ من $0$ .

$- 2 e^{2 t}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{8}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{8}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} d x$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{8}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{8} \cdot 2} d u_{2} d x$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{2}}^{8}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{8}} d u_{2} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{8}} d u_{2} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{8}} d u_{2}) d x$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $d$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{d}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{8}} d u_{2} x$

خطوة 5.1.2

اجمع $x$ و $\frac{d}{2}$ .

$- \frac{x d}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{8}} d u_{2}$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل ${u_{2}}^{8}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{x d}{2} \int {({u_{2}}^{8})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{8})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x d}{2} \int {u_{2}}^{8 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- \frac{x d}{2} \int {u_{2}}^{- 8} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 8}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \frac{1}{7} {u_{2}}^{- 7}$ .

$- \frac{x d}{2} (- \frac{1}{7} {u_{2}}^{- 7} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع ${u_{2}}^{- 7}$ و $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x d}{2} (- \frac{{u_{2}}^{- 7}}{7} + C)$

خطوة 7.1.2

انقُل ${u_{2}}^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x d}{2} (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}} + C)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $- \frac{x d}{2} (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x d (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} x d (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}}) + C$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} d (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}}) + C$

خطوة 7.3.2

اجمع $d$ و $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{d x}{2} (- \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}}) + C$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d x}{2} \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}} + C$

خطوة 7.3.4

اضرب $\frac{d x}{2}$ في $1$ .

$\frac{d x}{2} \cdot \frac{1}{7 {u_{2}}^{7}} + C$

خطوة 7.3.5

اضرب $\frac{d x}{2}$ في $\frac{1}{7 {u_{2}}^{7}}$ .

$\frac{d x}{2 (7 {u_{2}}^{7})} + C$

خطوة 7.3.6

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{d x}{14 {u_{2}}^{7}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - e^{2 t}$ .

$\frac{d x}{14 {(3 - e^{2 t})}^{7}} + C$