حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{x^{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 4 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 4 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $4 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2} - 16}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2} - 16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4^{2} \sec^{2} (t) - 16}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{16 \sec^{2} (t) - 16}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{16 (\sec^{2} (t)) - 16}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$\int \frac{\sqrt{16 \sec^{2} (t) + 16 \cdot - 1}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $16$ من $16 \sec^{2} (t) + 16 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{16 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{16 \tan^{2} (t)}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $16 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(4 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2}}}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{4 \tan (t)}{{(4 \sec (t))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec (t)$ .

$\int \frac{4 \tan (t)}{{(4 (\sec (t)))}^{3}} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (\sec (t))$ .

$\int \frac{4 \tan (t)}{4^{3} \sec^{3} (t)} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{4 \tan (t)}{64 \sec^{3} (t)} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan (t)$ .

$\int \frac{4 (\tan (t))}{64 \sec^{3} (t)} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $64 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{4 (\tan (t))}{4 (16 \sec^{3} (t))} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{4 \tan (t)}{4 (16 \sec^{3} (t))} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\tan (t)}{16 \sec^{3} (t)} (4 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.5

اجمع $4$ و $\frac{\tan (t)}{16 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{4 \tan (t)}{16 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.6

اجمع $\sec (t)$ و $\frac{4 \tan (t)}{16 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{16 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

خطوة 2.2.7

اجمع $\frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{16 \sec^{3} (t)}$ و $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t)) \tan (t)}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.8

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.9

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{\sec (t) (4 {\tan (t)}^{1 + 1})}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.11

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan^{2} (t))}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.12

انقُل $4$ إلى يسار $\sec (t)$ .

$\int \frac{4 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{4 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{16 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{4 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{4 (4 \sec^{3} (t))} d t$

خطوة 2.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{4 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{4 (4 \sec^{3} (t))} d t$

خطوة 2.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{4 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $\sec (t)$ و $\sec^{3} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{4 \sec^{3} (t)} d t$

خطوة 2.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $4 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (4 \sec^{2} (t))} d t$

خطوة 2.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (4 \sec^{2} (t))} d t$

خطوة 2.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{4 \sec^{2} (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ بالصيغة ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\tan (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

خطوة 4.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

خطوة 4.5

اكتب $\cos (t)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

خطوة 4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

خطوة 4.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (t) d t$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{8} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{8} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{8} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 12

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 14

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{8} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{1}{8} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{8} (arcsec (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{8} (arcsec (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 16.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{8} (arcsec (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))) + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اجمع $\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (arcsec (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

خطوة 17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} arcsec (\frac{x}{4}) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

خطوة 17.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $arcsec (\frac{x}{4})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{4})}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

خطوة 17.4

اضرب $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{4})}{8} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{8 \cdot 2} + C$

خطوة 17.4.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{4})}{8} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{4}))}{16} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} arcsec (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{16} \sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x)) + C$