حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (4 x^{3} - 12 x) {(x^{4} - 6 x^{2})}^{- 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{4} - 6 x^{2}$ . إذن $d u = (4 x^{3} - 12 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{4 x^{3} - 12 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{4} - 6 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4} - 6 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{- 3} d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

خطوة 3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} - 6 x^{2})}^{2}} + C$