حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

خطوة 1.1.3

اضرب في $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

خطوة 1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

خطوة 1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ بالصيغة ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

خطوة 1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int x (x - 1) d x$

خطوة 1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

خطوة 1.6

اضرب $x$ في $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

خطوة 1.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

خطوة 1.8

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$