حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 10 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(10 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(10 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 6.3

انقُل ${(10 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 1]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 10

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $10$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.3

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{{(10 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$