حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(1 + 3 \sqrt{y})}^{2}}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 1.3

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

خطوة 1.4

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

خطوة 1.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

خطوة 1.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{- \frac{1}{2}} d y$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ ، لذا $- d u = \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.1.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 3 \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.1.3.9

اجمع $3$ و $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{3 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.1.3.10

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{2}{3} u^{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} \int u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2}{9} u^{3} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$