حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \csc (3 x) \cot (3 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \csc (3 x)$ . إذن $d u_{2} = - 3 \cot (3 x) \csc (3 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u_{2} = \cot (3 x) \csc (3 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \csc (3 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (3 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \csc (3 x) \cot (3 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 \csc (3 x) \cot (3 x)$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 3 \csc (3 x) \cot (3 x)$ .

$- 3 \cot (3 x) \csc (3 x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\csc (3 x)$ .

$- \frac{1}{3} \csc (3 x) + C$