حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 4$ و $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - (x^{2} - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - (x^{2} - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$