حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \ln (2 x - 3) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (2 x - 3)$ و $d v = 1$ .

$\ln (2 x - 3) x - \int x \frac{2}{2 x - 3} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{2 x - 3}$ .

$\ln (2 x - 3) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x - 3} d x$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\ln (2 x - 3) x - \int \frac{2 x}{2 x - 3} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (2 x - 3) x - (2 \int \frac{x}{2 x - 3} d x)$

خطوة 4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 \int \frac{x}{2 x - 3} d x$

خطوة 5

اقسِم $x$ على $2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$3$

$x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$3$		$x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{3}{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{2}$
					+	$\frac{3}{2}$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (2 x - 3) x - 2 \int \frac{1}{2} + \frac{3}{2 (2 x - 3)} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{2 (2 x - 3)} d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{2 (2 x - 3)} d x)$

خطوة 8

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 x - 3} d x)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 x - 3$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 x - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 9.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 9.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 10.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

خطوة 10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + C + \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + C + \frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + C + \frac{3}{4} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} \ln (| u |)) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 3$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} \ln (| 2 x - 3 |)) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + \frac{3}{4} \ln (| 2 x - 3 |)) + C$

خطوة 16.1.2

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\ln (| 2 x - 3 |)$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4}) + C$

خطوة 16.2

لكتابة $\frac{x}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4}) + C$

خطوة 16.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4}) + C$

خطوة 16.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\ln (2 x - 3) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} + \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4}) + C$

خطوة 16.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (2 x - 3) x - 2 \frac{x \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4} + C$

خطوة 16.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (2 x - 3) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{4} + C$

خطوة 16.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\ln (2 x - 3) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 16.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2 x - 3) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 16.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2 x - 3) x - \frac{x \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{2} + C$

خطوة 16.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\ln (2 x - 3) x - \frac{2 x + 3 \ln (| 2 x - 3 |)}{2} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (2 x - 3) x - \frac{1}{2} (2 x + 3 \ln (| 2 x - 3 |)) + C$