حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 9 x \sqrt{- x^{2} + 4} d x$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int x \sqrt{- x^{2} + 4} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - x^{2} + 4$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 4]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 x + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

اضرب $2$ في $9$ .

$- \frac{18}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{18}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$- \frac{6 \cdot 3}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$- \frac{6 \cdot 3}{6 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9.2.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2} + 4$ .

$- 3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$