حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \arctan (u) d u$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \arctan (u)$ و $dv = 1$ .

$\arctan (u) u - \int u \frac{1}{u^{2} + 1} d u$

خطوة 2

اجمع $u$ و $\frac{1}{u^{2} + 1}$ .

$\arctan (u) u - \int \frac{u}{u^{2} + 1} d u$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = u^{2} + 1$ . إذن $d u_{1} = 2 u d u$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = u^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $u^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$2 u + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 u$ و $0$ .

$2 u$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\arctan (u) u - \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (u) u - \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\arctan (u) u - \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arctan (u) u - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\arctan (u) u - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\arctan (u) u - \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $u^{2} + 1$ .

$\arctan (u) u - \frac{1}{2} \ln (| u^{2} + 1 |) + C$