حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos (3 y) - 2 x d x \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1

احسِب قيمة $\int \cos (3 y) - 2 x d x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(\int \cos (3 y) d x + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$(\cos (3 y) x + C + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$(\cos (3 y) x + C - 2 \int x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(\cos (3 y) x + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط.

$(\cos (3 y) x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(\cos (3 y) x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 1.5.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

خطوة 2

احسِب قيمة $\int \sin (2 x) + 2 yd y d x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (2 x) d x + \int 2 yd y d x)$

خطوة 2.2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

خطوة 2.3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \frac{\sin (u)}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

خطوة 2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u + \int 2 yd y d x)$

خطوة 2.5

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \int 2 yd y d x)$

خطوة 2.6

طبّق قاعدة الثابت.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + 2 yd y x + C)$

خطوة 2.7

بسّط.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (u)}{2} + 2 yd y x + C)$

خطوة 2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (2 x)}{2} + 2 yd y x + C)$

خطوة 2.9

أعِد ترتيب الحدود.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x + C)$

خطوة 3

بسّط.

$(\cos (3 y) x - x^{2}) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x) + C$