حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin (5 x) \cos (5 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (5 x)$ . إذن $d u_{2} = 5 \cos (5 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = \cos (5 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (5 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (5 x) (5 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\cos (5 x) \cdot 5$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{u_{2}}{5} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{1}{10} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (5 x)$ .

$\frac{1}{10} \sin^{2} (5 x) + C$