حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

خطوة 1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

خطوة 1.4

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

خطوة 1.6

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 1.7

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

خطوة 1.8

اجمع $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ و $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

خطوة 1.9

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

خطوة 1.10

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 1.11

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 1.12

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

خطوة 1.13.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.14

اضرب $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1

اجمع $\tan (2 x)$ و $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

خطوة 1.14.2

اجمع $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ و $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

خطوة 1.15

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

خطوة 1.16

افصِل الكسور.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 1.17

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 1.18

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

خطوة 1.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.1

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

خطوة 1.19.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.20

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.21

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.22

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.23

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.24.1

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24.3

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24.4

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.24.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

خطوة 1.25

اضرب $\sec^{2} (2 x)$ في $\sec (2 x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.25.1

انقُل $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

خطوة 1.25.2

اضرب $\sec (2 x)$ في $\sec^{2} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.25.2.1

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

خطوة 1.25.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

خطوة 1.25.3

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

خطوة 1.26

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

خطوة 1.27

اضرب $\sec (2 x)$ في $\sec^{3} (2 x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.27.1

اضرب $\sec (2 x)$ في $\sec^{3} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.27.1.1

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

خطوة 1.27.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

خطوة 1.27.2

أضف $1$ و $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \sec (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \sec (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.1.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3

اجمع ${u_{2}}^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{3}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$