حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

خطوة 1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

خطوة 1.4

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

خطوة 1.6

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

خطوة 1.8

اجمع $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ و $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

خطوة 1.9

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

خطوة 1.10

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.11

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.12

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.13.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.14

اضرب $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1

اجمع $\tan (x)$ و $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

خطوة 1.14.2

اجمع $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ و $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

خطوة 1.15

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

خطوة 1.16

افصِل الكسور.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.17

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.18

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.19.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.19.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.20

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.21

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.22

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.23

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.24.1

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24.3

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24.4

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.24.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.25

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.25.1

انقُل $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

خطوة 1.25.2

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.25.2.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

خطوة 1.25.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

خطوة 1.25.3

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.26

اجمع $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ و $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

خطوة 1.27

أخرِج العامل $\cos^{3} (x)$ من $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

خطوة 1.28

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

خطوة 1.29

أضف $3$ و $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.30

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.31

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{6} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.31.1

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{6} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.31.1.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.31.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

خطوة 1.31.2

أضف $1$ و $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{6} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$