حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{6}$ . إذن $d u = \frac{1}{6} d x$ ، لذا $6 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{6}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{6}$ في $1$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

خطوة 1.3

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

خطوة 2.2

اضرب $6$ في $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

خطوة 2.3

انقُل $6$ إلى يسار $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

خطوة 3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (u)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 8

اجمع $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ و $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 9

احسِب قيمة $- u - \cot (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{6})$ هي $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 10.4

أضف $- \frac{π}{2}$ و $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 10.5

لكتابة $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 10.6

اجمع $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

خطوة 10.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

خطوة 10.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

خطوة 10.9

اجمع $6$ و $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 10.10

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

أخرِج العامل $2$ من $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

خطوة 10.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

خطوة 10.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

خطوة 10.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

خطوة 10.10.2.4

اقسِم $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ على $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.2.3

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

خطوة 11.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.5

اضرب $- - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.5.2

اضرب $\frac{π}{3}$ في $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.6

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.7

اجمع $- π$ و $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.10

أضف $- 3 π$ و $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

خطوة 11.12

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

خطوة 11.13

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 π}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

خطوة 11.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

خطوة 11.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

خطوة 11.14

اضرب $2$ في $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$4.10911953 \dots$