حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ في $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

خطوة 4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ و $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ في $2 π$ وفي $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.6.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.6.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

خطوة 6.1.6.3

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.6.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

خطوة 6.1.6.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

خطوة 6.1.6.4

اضرب $π$ في $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

خطوة 6.1.6.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

خطوة 6.1.6.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

خطوة 6.1.7

أضف $π$ و $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

خطوة 6.2

أضف $- 2 π$ و $0$ .

$- 2 π - π$

خطوة 6.3

اطرح $π$ من $- 2 π$ .

$- 3 π$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 3 π$

الصيغة العشرية:

$- 9.42477796 \dots$