حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (x^{2}) \cos (x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (x^{2})$ . إذن $d u_{2} = 2 x \cos (x^{2}) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x \cos (x^{2}) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (x^{2})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.1.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x^{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin^{2} (x^{2}) + C$