حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \cos (e x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (e x)$ .

$x (\frac{1}{e} \sin (e x)) - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{e}$ و $\sin (e x)$ .

$x \frac{\sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{\sin (e x)}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{e}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{e}$ خارج التكامل.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - (\frac{1}{e} \int \sin (e x) d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = e x$ . إذن $d u = e d x$ ، لذا $\frac{1}{e} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = e x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $e x$ .

$\frac{d}{d x} [e x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e \frac{d}{d x} [x]$ .

$e \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $e$ في $1$ .

$e$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \sin (u) \frac{1}{e} d u$

خطوة 5

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \frac{\sin (u)}{e} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{e}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{e}$ خارج التكامل.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} (\frac{1}{e} \int \sin (u) d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e e} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.3

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e^{1}} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} \int \sin (u) d u$

خطوة 8

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$ بالصيغة $\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e x$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (e x)}{e^{2}} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{e} x \sin (e x) + \frac{1}{e^{2}} \cos (e x) + C$