حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $y^{4}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = y^{2}$ و $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

خطوة 1.4

بسّط.

$\int y (y^{2} - y) d y$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب $y$ و $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

خطوة 2.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

خطوة 2.6

أخرِج السالب.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

خطوة 2.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

خطوة 2.8

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

خطوة 2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

خطوة 2.10

أضف $1$ و $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$