حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int y {(y^{2} + 5)}^{8} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = y^{2} + 5$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = y^{2} + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{8} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{8}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u^{8} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{8}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9} u^{9} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{1}{18} u^{9} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2} + 5$ .

$\frac{1}{18} {(y^{2} + 5)}^{9} + C$