حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

خطوة 1

بما أن $5.3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5.3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

خطوة 2

اضرب $5.3$ في $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = w t$ . إذن $d u_{1} = w d t$ ، لذا $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = w t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

خطوة 3.1.2

بما أن $w$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $w t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$w \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $w$ في $1$ .

$w$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

خطوة 3.3

اضرب $w$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

خطوة 3.5

انقُل $5$ إلى يسار $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

خطوة 4

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{w}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{w}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{w}$ و $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

خطوة 9

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

خطوة 13

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 13.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 13.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 13.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

خطوة 13.5

اضرب $5$ في $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

خطوة 13.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

خطوة 13.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

خطوة 14

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

خطوة 15

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

خطوة 16

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

خطوة 17

اجمع $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

خطوة 18

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

احسِب قيمة $u_{1}$ في $5 w$ وفي $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

خطوة 18.2

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $10 w$ وفي $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

خطوة 18.3

أضف $5 w$ و $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

خطوة 19.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

خطوة 19.3

أضف $\sin (10 w)$ و $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أخرِج العامل $26.5$ من $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20.2

أخرِج العامل $2$ من $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20.3

افصِل الكسور.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20.4

اقسِم $26.5$ على $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20.5

اجمع $13.25$ و $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

خطوة 20.6

أخرِج العامل $\frac{13.25}{w}$ من $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.7

اضرب في $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.8

أخرِج العامل $13.25$ من $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.9

افصِل الكسور.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.10

اقسِم $1$ على $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.11

اقسِم $w$ على $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.12

اضرب $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.12.1

اجمع $0.07547169$ و $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.12.2

اجمع $w$ و $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.13

انقُل $0.07547169$ إلى يسار $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

خطوة 20.14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

خطوة 21

اجمع $\sin (10 w)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$