حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int t \ln (2 t) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (2 t)$ و $d v = t$ .

$\ln (2 t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$\ln (2 t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (2 t)$ و $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t} d t)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $t^{2}$ و $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t} d t)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{2}$ و $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t} d t)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t^{1}} d t)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t}{1} d t)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $t$ على $1$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t)$

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t d t$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (2 t)$ .

$\frac{\ln (2 t)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{\ln (2 t)}{2}$ و $t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} t^{2} + C$

خطوة 6.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$

خطوة 6.3

اجمع $t^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4} + C$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$