حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x {(x - 7)}^{5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 7$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u + 7) u^{5} d u$

خطوة 2

اضرب $(u + 7) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 7 u^{5} d u$

خطوة 3

اضرب $u$ في $u^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $u$ في $u^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 7 u^{5} d u$

خطوة 3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 5} + 7 u^{5} d u$

خطوة 3.2

أضف $1$ و $5$ .

$\int u^{6} + 7 u^{5} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{6} d u + \int 7 u^{5} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 7 u^{5} d u$

خطوة 6

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 \int u^{5} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{1}{7} u^{7} + 7 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

خطوة 8.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{7}{6} u^{6} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 7$ .

$\frac{1}{7} {(x - 7)}^{7} + \frac{7}{6} {(x - 7)}^{6} + C$