حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt{11 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 11 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 11 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $11 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [11 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $11 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $11 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(11 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$