حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \log_{5} (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \log_{5} (x)$ و $d v = x$ .

$\log_{5} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\log_{5} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\log_{5} (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (5)} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} d x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x)$

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{\ln (5)}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{\ln (5)}$ خارج التكامل.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (5)} \int x d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{\ln (5)}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (5) \cdot 2} \int x d x$

خطوة 6.2

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \int x d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\log_{5} (x)$ .

$\frac{\log_{5} (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $\frac{\log_{5} (x)}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (5))} x^{2} + C$

خطوة 8.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

خطوة 8.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{4 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (5)} + C$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$