حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt[7]{81 + x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 81 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 81 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $81 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [81 + x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $81 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt[7]{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt[7]{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[7]{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[7]{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[7]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{7}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{7}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 8} u^{\frac{8}{7}} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{7}{16} u^{\frac{8}{7}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $81 + x^{2}$ .

$\frac{7}{16} {(81 + x^{2})}^{\frac{8}{7}} + C$