حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt[4]{3 x + 1} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt[4]{3 x + 1}$ .

$x (\frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{4}{15}$ و ${(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x \frac{4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{4}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{15}$ خارج التكامل.

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - (\frac{4}{15} \int {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 3 x + 1$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 3 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{3} d u$

خطوة 5

اجمع $u^{\frac{5}{4}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{3} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{4}{15}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{3 \cdot 15} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $15$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{4}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ بالصيغة $\frac{4}{15} x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ .

$\frac{4}{15} x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{4}{15}$ و $x$ .

$\frac{4 x}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $\frac{4 x}{15}$ و ${(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $\frac{4}{9}$ في $\frac{4}{45}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 45} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2.4

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{9 \cdot 45} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2.5

اضرب $9$ في $45$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} + C$

خطوة 9.2.6

لكتابة $- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{15}{15} + C$

خطوة 9.2.7

اجمع $- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}}$ و $\frac{15}{15}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} + \frac{- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot 15}{15} + C$

خطوة 9.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot 15}{15} + C$

خطوة 9.2.9

اجمع $u^{\frac{9}{4}}$ و $\frac{16}{405}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405} \cdot 15}{15} + C$

خطوة 9.2.10

اضرب $15$ في $- 1$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 15 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405}}{15} + C$

خطوة 9.2.11

اجمع $- 15$ و $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 15 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{405}}{15} + C$

خطوة 9.2.12

اضرب $16$ في $- 15$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 240 u^{\frac{9}{4}}}{405}}{15} + C$

خطوة 9.2.13

أخرِج العامل $15$ من $- 240 u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{405}}{15} + C$

خطوة 9.2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.14.1

أخرِج العامل $15$ من $405$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{15 (27)}}{15} + C$

خطوة 9.2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{15 \cdot 27}}{15} + C$

خطوة 9.2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.16

لكتابة $4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{27}{27} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.17

اجمع $4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ و $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 27}{27} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 27 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.19

اضرب $27$ في $4$ .

$\frac{\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

خطوة 9.2.20

أعِد كتابة $\frac{\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27} \cdot \frac{1}{15} + C$

خطوة 9.2.21

اضرب $\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}$ في $\frac{1}{15}$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27 \cdot 15} + C$

خطوة 9.2.22

اضرب $27$ في $15$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{405} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 1$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(3 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{405} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{405} (108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(3 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$