حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 5.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

خطوة 8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $x$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

خطوة 9.3

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - 0))$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 + 0))$

خطوة 10.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 10.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 11.2

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 11.3

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.64269908 \dots$